Xamarin.Androidで「You need to use a Theme.AppCompat theme (or descendant) with this activity.」と出てビルドに失敗する

これでした。

forums.xamarin.com

Resource.designer.csを削除して、再度ビルドして再生成すれば治ります。

この時、VSからResource.designer.csを消した場合、再生成したものを改めてプロジェクトに取り込んであげないといけない点に注意してください。